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各种集合理论的哲学基础(转)
2009-1-15 13:50:21  人工智能 

各种集合理论的哲学基础——普通集合的哲学基础

2008-01-27 09:00

摘自《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年第6期,略有改动。
   
1874年,康托尔(G·Cantor)创立了普通集合。在康托尔集合理论中,集合中任一元素,要么属于集合,要么不属于集合,二者必居其一,绝不模棱两可。它坚持一个公式:“是则是,否则否,除此之外,都是鬼话。”也就是说,康托尔的普通集合理论的哲学基础是形式逻辑的矛盾律和排中律。换言之,康托尔的集合论只能将事物分成两类:是与非。
客观世界中的事物不一定非此即彼,确实存在有既不是百分之百是 B,又不是百分之百不是 B的事物,许多事情在“是”与“非”之间存在一个中介过渡阶段。有些事情如果失去中介过渡阶段,思维会引起混乱。
一个典型例子是“秃子悖论”:有一根头发算不算秃?有一根头发不算秃不合常理,当然应该算秃。那么两根呢?也应该算秃,有谁见过脑壳上仅有两根头发就欣喜若狂地宣称自己不是秃子的人?现在改用数学归纳法,如果n根头发算秃,n+1根头发算不算秃?n根头发算秃n+1根头发不算秃不合常理,有谁辨别秃子是扒着人家脑袋数头发,“多了一根!不算秃。”
但是,如果n+1根头发算秃,则一根一根的加上去,满头青发都是秃,人人都是秃子。
从智能信息处理角度看所谓悖论,实际上就是现有的数学方法不能模拟人的处理信息过程而产生的困惑。以形式逻辑的矛盾律和排中律为基础建立的普通集合不能全面、正确地模拟人的信息处理过程,必须改造数学基础,建立新的集合理论。
                                              (作者:刘建忠    http://hi.baidu.com/liujianz )
参考文献
[1] 刘建忠. 《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年,第21卷第6期

2009-1-15 13:52:39
  
各种集合理论的哲学基础——模糊集合的哲学基础
2008-01-27 15:06

摘自《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年第6期,略有改动。
   
由于康托尔的普通集合不能描述是非之间的中介过渡阶段,从而启示扎德提出了模糊集合理论。
1965年,扎德在保留矛盾律、取消排中律的基础上建立了模糊集合理论。
 
从哲学角度讲,扎德修正了普通集合的前提假设,即在形式逻辑中的“是B”与“不是 B”之间增加了一个模糊中介。也就是将事物分成三类:在前面“秃子悖论”中的“秃”与“不秃”之间增加了一个叫做“有些秃”的模糊中介。
在模糊集合中,论域中任意一元素,或百分之百属于 B,或百分之百不属于 B,或以百分数的形式归属于中介过渡(模糊)区域。
但普通集合和模糊集合的哲学基础归根结底都是形式逻辑矛盾。
继扎德提出模糊集合理论之后,数学家思想大解放,相继提出了可拓集合、灰集合、不确定集合、粗集合等。这些集合(我们后面将会一一论述)的特点几乎都是保留形式逻辑中的矛盾律、而在放弃排中律上做文章。
          (作者:刘建忠    http://hi.baidu.com/liujianz )
  
参考文献
[1] 刘建忠. 《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年,第21卷第6期

2009-1-15 13:53:44
  
各种集合理论的哲学基础——反演集合的哲学基础
2008-01-27 15:37

摘自《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年第6期,略有改动。
   
在哲学中矛盾分两类:一类是形式逻辑矛盾,另一类是辩证法矛盾。辩证法矛盾与形式逻辑矛盾截然不同,形式逻辑矛盾是指人们在逻辑思维过程中,对同一论断既给予肯定又给予否定的自相矛盾现象,例如:“作用力”与“非作用力”;辩证法矛盾是指在客观世界中,事物自身所包含的对立面的统一关系,是指事物自身内部对立的两个侧面(正、反两面)之间的矛盾。例如:“作用力”与“反作用力”。
辩证法矛盾双方互相依存,互为存在的条件,一方的存在以另一方的存在为前提,一方不存在,另一方也将不存在。矛盾双方是共同处于一个统一体中,互相对立、互相排斥而又互相统一、互相联结的两个方面。
总而言之,形式逻辑矛盾是指事物自身被肯定和被否定之间的矛盾; 辩证法矛盾是指事物内部对立统一的两个侧面之间的矛盾。
辩证法矛盾和形式逻辑矛盾作为人类思维的两种方式中的矛盾并存于人类思维之中。任何一个真实的思维过程都是形式逻辑思维与辩证法思维共同作用的过程,在这个过程中,辩证法矛盾和形式逻辑矛盾是相辅相成、共同作用的。如果数学体系仅建立在形式逻辑矛盾基础上,与辩证法矛盾无关,显然是不够完美的。同时,要用数学方法模拟人处理信息的辩证思维过程,也需要建立以辩证法矛盾为基础的数学基础理论。
辩证法矛盾的一分为二性,换数学语言描述,则我们可以描述为反演集合定义:论域中任一元素都有两面性,一面属于正集合,另一面属于反集合,正反集合中元素是一一对应的,正集合与反集合互为反演集合。这样做,我们平常叫做任何事物都有两面性,要一分为二地看问题,由此,我们得到一种新的集合——反演集合。
这样,我们实现了一次飞跃,将数学体系的逻辑基础由过去单一的形式逻辑矛盾扩大到辩证法矛盾之上。
对于反演集合中的任意两个元素,我们即可以研究两个元素的正面之间的差别和两个元素的反面之间的差别,又可以研究每一个元素自身正反两面之间的差别。
在反演集合理论中。并且如果我们仅考虑反演集合的正面,或仅考虑反演集合的反面,则反演集合就蜕化成为朴素集合了。
普通集合、模糊集合和反演集合概念之间是不相抵触的,各自涉及的范围不同。普通集合讨论的是被肯定事物的变化;模糊集合讨论的是事物肯定与否定之间的模糊中介中的变化;反演集合讨论的是事物自身内部一分为二的两个侧面之间的关系。
世界上所有问题都是“一分为二”的,有正效应必有反效应,所以反演集合理论必然有广阔的应用前景。
   (作者:刘建忠    http://hi.baidu.com/liujianz 
参考文献
[1] 刘建忠. 《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年,第21卷第6期

2009-1-15 13:56:25
  
各种集合理论的哲学基础——粗集(粗糙集)的哲学基础
2008-02-03 13:40

摘自《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年第6期,略有改动。
   
波兰学者Z. Pawlak于1990年提出了粗集(粗糙集)理论。其概念表述如下:设X是论域U的一个子集,R为其上的一个分类关系,如果X能用R分类,即它可用某些R基本集合的并来表示,则X是R可定义的精确集,如果不能,则称X是R粗集。
粗集可以近似地定义,即使用两个精确集(粗集的上近似和下近似)来描述。
 
 
从图中我们可以看出,从分类角度看,粗集将论域分为三类:—X(黄色),边界域(绿色),正域(红色)。
即:粗集的哲学基础是形式逻辑矛盾律(红色与黄色)+边界(绿色)。
在知识的表达与获取方面,虽然粗集理论和模糊集合理论都是研究信息系统中知识不完善、不准确问题,但它们各自的着眼点不同,粗集理论解决问题的出发点是信息系统中知识的不可分辨性,而模糊集合理论解决问题的出发点是信息系统中知识的模糊性,两者不仅在概念上不能相互替代,在处理方法上也各有特色。粗集具有很强的定性分析能力,它不需要预先给定某些特征或属性的数量描述,如模糊集合理论中的隶属度或隶属函数等,而是直接从给定问题的描述集合出发,通过不可分辨关系和不可分辨类确定给定问题的近似域,从而找出该问题的内在规律。
在粗集中,对待同一个集合X,不同的R分类会导致集合X不可分辨关系的变化。灵活运用R分类会对解决实际问题带来很大方便,变化R分类这种方式十分类似于我们的大脑思维过程。
   (作者:刘建忠    http://hi.baidu.com/liujianz 
参考文献
[1] 刘建忠. 《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年,第21卷第6期
[2]曾黄麟:《粗集理论及其应用》重庆大学出版社1996年9月第1版

2009-1-15 13:57:33
  
各种集合理论的哲学基础——Vague集合的哲学基础
2008-02-03 14:53

摘自《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年第6期,略有改动。
     
Gau和Buehrer于1993年提出了一个新的处理模糊信息的模糊理论——Vague集合。在Vgaue集中,给每个对象同样分派一个隶属度,不同的是该隶属度是[0,1]的一个子区间,这个子区间既给出了支持x∈X的证据,同时也给出了反对x∈X的证据。与模糊集合相比较,Vague集合能更好和更准确地表达模糊信息。
 
 
从分类角度看, Vague集将论域分成三类:支持x∈X类的必要程度,反对x∈X类的必要程度,x的不确定性。
所以,Vague集的哲学基础是形式逻辑矛盾律+“x的不确定性”。
   (作者:刘建忠    http://hi.baidu.com/liujianz 
参考文献
[1] 刘建忠. 《浅论智能信息分类处理中的数学基础问题》曲靖师范学院学报, 2002年,第21卷第6期
[2] Gau Wen-Lung, Danied J B.Vague sets. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics,1993,23(2):610-614

2009-1-15 13:59:42
  
你怎么开始对刘建忠的东西感兴趣了?你看看我以前做的统一集论,就是从集合论这里入手的。可以肯定,最终的复杂性理论是要回到集合论上面去的,但是之前的这些东西,包括模糊集、统一集都不过是一种形式上的描述,不是根本。最根本的是要把测量这个动作引入进来,而不仅仅是测量之后得到的结果——集合。

>nnk2006在回复:各种集合理论的哲学基础(转)中写道:
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各种集合理论的哲学基础——反演集合的哲学基础
2008-01-27 15:37

2009-1-15 14:00:58
  
各种集合理论的哲学基础——初探统一集论
2008-02-04 13:12

<......

是谁第一个提出的“统一集”概念?我不知道。
但我知道贺仲雄、张江在统一集论的发展中起了中流砥柱和开拓的作用。
我与贺仲雄、张江有一面之缘。
事情是这样的,很早以前,我第一次看到贺仲雄老师和另一人合作发表的一篇统一集文章。我根据文章作者地址通过电话找到贺仲雄老师,电话里问了三件事情:一是那一人如何联系;二是谁首先提出的统一集论;三是关于对统一集论的一些疑惑。
第一个问题贺仲雄老师答复他已经毕业,不方便联系,后面两个问题建议我出差到北京时面谈。不久,我履约拜访了贺仲雄老师,贺仲雄老师是谦谦学者,君子风度,在北方交通大学的家里热情接待了我,并介绍我认识了张江。但始终没有回答我第二个问题。在与张江的交谈中,张江对我第三个问题进行了解惑。
当时的统一集论,尚在初创阶段,尚不能像如今这样流畅的娓娓道来。
我们今天之所以又关心统一集论,是在写博客文章《各种集合理论的哲学基础》时,看到统一集论(见文[1])的确是将许多集合从形式上进行了统一,并且统一的形式还很漂亮。
在恭喜统一集论研究者做出这样好的成绩的同时,也感觉到统一集论依然还有一些令人疑惑的地方(关于对统一集论的疑惑,我们在后续文《置疑统一集论》中详谈)。
[1]给出了统一集论的定义:
一个统一集可以定义成下面的形式:
S = ABFJ )
其中,S是一个统一集;A是一个非空的经典集合,它定义了所要讨论的事物的范围;B是一个非空的经典集合,对A中所有元素的描述构成的集合;F是一个AB的映射,它给A中所有的元素都定义了描述;J是一个对F构成约束的界壳,它可以是一个集合、一个不等式、一个等式或者若干谓词的组合。
并且,文[1]给出了利用统一集统一各种集合的形式(摘要如下):
 
我是为统一集论的提出高兴的。但在肯定统一集论研究者做出的成绩的同时,我们也希望能看到统一集论对集合论本身的创新点。即:统一集论的提出,除了对各种集合的形式进行了统一之外,对集合论本身,还超越了以前集合论工作的哪些地方,做了那些实质性的突破。
关于对统一集论的疑惑,我们在后续文《置疑统一集论》中详谈。
我衷心祝愿这朵中国数学之芽——成为数学中一朵奇葩。
   (作者:刘建忠    http://hi.baidu.com/liujianz 
参考文献
[1] ]张江,林华,贺仲雄.《统一集论与人工智能》[J].中国工程科学,2002,4(3):40~47

2009-1-15 14:03:55
  
各种集合理论的哲学基础——置疑统一集论
2008-02-07 22:02

统一集论属于集合论吗?
我们从统一集论统一集对分析角度来分析置疑一下。
张江、林华、贺仲雄在文[1]中将集对分析归为集合论(见下面文[1]节选):
并且将集对分析统一进了统一集论(文[1]):
然而,集对分析根本就不属于集合论。
为了说明这一点,我们先来看一下集对分析概念。
集对分析是赵克勤于1989年提出的。按赵克勤给出的概念(文[2]):由一定联系的2个集合所作成的对子称为集对。
所谓集对分析,就是分析这一对集合。赵克勤将两个集合中元素相互之间关系分成三种情况:同一,对立,差异(不确定)。
 
集对分析的具体方法如下:
给定2个集合AB,并设这2个集合组成集对H=AB),在某个具体的问题背景(设为W)下,对集对H的特性展开分析,共得到N个特性,其中,有S个为集对H中两个集合AB所共同具有;在P个特性上集合AB相对立,在其余的F=N-S-P个特性上既不相互对立,又不为这2个集合所共同具有,则称比值:
S/N为这2个集合在问题W下的同一度,简称同一度;
P/N为这2个集合在问题W下的对立度,简称对立度;
F/N为这2个集合在问题W下的差异度,简称差异度,
并用式子
u(W) = S/N +F/Ni +P/Nj
加以统一的表示。式中的u就称为AB2个集合的联系度,这个式子称为联系度定义式。
在式中,ij有双重含义:
第一个含义是ij分别作为差异度F/N和对立度P/N的系数。规定:i[-11]区间视不同情况确定取值;j在一般情况下规定其取值-1,以表示P/N是与同一度S/N相反的东西。
第二个含义是不计较ij的取值情况,此时仅起标记的作用,即表示F/N是差异度,P/N是对立度,并以这两个标记与同一度相区别。
按上述赵克勤自述的方法,我们不难看出,集对分析研究的是两个集合之间关系。虽然集对分析根据两个集合之间关系将集合元素分成同一,对立,差异三种,但它始终是相对两个集合之间而言,对集合自身没有任何涉及。
集合论讨论的是集合中元素与集合自身之间的关系。与集对分析研究的是两个集合之间关系相比,完全是两个不同层次上的工作。所以我们说集对分析不是一种集合论。
此外,林华、刘川意、贺仲雄在文[3]中表达了与笔者相同的观点。文[3]中认为,集对分析“是从研究两对象的联系出发,从同、异、反三点着手,它比较的是两个经典集合,即一个对象通过某种渠道表示成一经典集合,如果严格从传统集合概念来讲,集对分析不是一种集合论,而是一门讨论分析具有特殊意义的经典集合之间的关系的理论”。
笔者认为,所谓集对分析只是一种研究集合之间关系的数学方法。不管白猫黑猫,能解决问题就是好猫,只要集对分析能解决一些具体问题,作为一种数学方法来认同,是容易理解的。但把集对分析归入集合论,则错误了,因为它不符合集合论的条件。
由此,我们置疑统一集论是否属于集合论。
统一集论能将许多集合论统一起来,所以统一集论有它合理的成分,但统一集论将不属于集合论的集对分析也统一进了统一集论,使得我们觉得统一集论的工作过于粗糙,有让人困惑的地方。
既然统一集论中包含有不属于集合论的东西,那么把统一集论称为集合论的一种,显然就不合适了。所以,统一集论也应该不属于集合论。
这不是我们希望看到的。我衷心希望统一集论研究者们尽快完善之。
  (作者:刘建忠    http://hi.baidu.com/liujianz 
参考文献
[1] 张江,林华,贺仲雄.《统一集论与人工智能》[J].中国工程科学,2002,4(3):40~47
[2] 赵克勤.《集对分析及其初步应用》浙江科学技术出版社 2000年3月第一版
[3] 林华,刘川意,贺仲雄.《描述大系统的数学工具:模糊集、可拓集、Vague 集、集对分析及其相互关联》WCICA 2002:2002上海全球自动化与智能控制会议论文集,华东理工大学出版社

2009-1-15 14:11:14
   建议作者和nnk2006能仔细看一下我们当年的文章,通过直积,我们已经把集对看作了一个更大的集合,因此它仍然是统一集。而不是像作者所说的,我们仅仅把集对中的A看作是我们的A,B看作是我们的B,那样的话的确存在作者说的问题。


>nnk2006在回复:各种集合理论的哲学基础(转)中写道:
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各种集合理论的哲学基础——置疑统一集论
2008-02-07 22:02

2009-1-15 14:22:57
  

你怎么开始对刘建忠的东西感兴趣了?你看看我以前做的统一集论,就是从集合论这里入手的。可以肯定,最终的复杂性理论是要回到集合论上面去的,但是之前的这些东西,包括模糊集、统一集都不过是一种形式上的描述,不是根本。最根本的是要把测量这个动作引入进来,而不仅仅是测量之后得到的结果——集合。
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呵呵,世界真小啊,引来引去在jake的网站上引了jake的理论。

确实,集合论虽然强大,但它既不是万能的,也不是根本的。

集合论解决不了两个问题:

1。不可逆性;

2。不完备性。

只有在剔除了不可逆性和不完备性之后,剩下的才是集合论。

反之,把不可逆性、不完备性、集合加在一起,就能形成一个比较有效的秩序架构。

至于测量,或者说观测,它本身就是一个建立秩序的过程——我们所观测到的东西,必然是有秩序的东西。也就是说,

观测=构建秩序=不可逆性+不完备性+集合

不过呢,在构建秩序架构的过程中还是有必要学习集合论的构建方法的。它的简洁,它的严谨,它的自成体系,它的无懈可击(还是有一点点懈)等等。

2009-1-15 14:26:50
  

建议作者和nnk2006能仔细看一下我们当年的文章,通过直积,我们已经把集对看作了一个更大的集合,因此它仍然是统一集。而不是像作者所说的,我们仅仅把集对中的A看作是我们的A,B看作是我们的B,那样的话的确存在作者说的问题。
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我不是搞集合论的,我只懂一点普通集合。

我只是在考虑秩序时搜集了一些相关知识。

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